01
甲、乙兩人分別從相距 100 米的 A 、B 兩地出發(fā)，相向而行，其中甲的速度是 2 米每秒，乙的速度是 3 米每秒。一只狗從 A 地出發(fā)，先以 6 米每秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉頭沖向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反復(fù)，直到甲、乙兩人相遇。問在此過程中狗一共跑了多少米？
這可以說是最經(jīng)典的行程問題了。不用分析小狗具體跑過哪些路程，只需要注意到甲、乙兩人從出發(fā)到相遇需要 20 秒，在這 20 秒的時(shí)間里小狗一直在跑，因此它跑過的路程就是 120 米。
說到這個(gè)經(jīng)典問題，故事可就多了。下面引用某個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)家八卦帖子： John von Neumann （馮·諾依曼）曾被問起一個(gè)中國(guó)小學(xué)生都很熟的問題：兩個(gè)人相向而行，中間一只狗跑來跑去，問兩個(gè)人相遇后狗走了多少路。訣竅無非是先求出相遇的時(shí)間再乘以狗的速度。 Neumann 當(dāng)然瞬間給出了答案。提問的人失望地說你以前一定聽說過這個(gè)訣竅吧。 Neumann 驚訝道：“什么訣竅？我就是把狗每次跑的都算出來，然后計(jì)算無窮級(jí)數(shù)”
02
某人上午八點(diǎn)從山腳出發(fā)，沿山路步行上山，晚上八點(diǎn)到達(dá)山頂。不過，他并不是勻速前進(jìn)的，有時(shí)慢，有時(shí)快，有時(shí)甚至?xí)Ｏ聛�。第二天，他早晨八點(diǎn)從山頂出發(fā)，沿著原路下山，途中也是有時(shí)快有時(shí)慢，最終在晚上八點(diǎn)到達(dá)山腳。試著說明：此人一定在這兩天的某個(gè)相同的時(shí)刻經(jīng)過了山路上的同一個(gè)點(diǎn)。
這個(gè)題目也是經(jīng)典中的經(jīng)典了。把這個(gè)人兩天的行程重疊到一天去，換句話說想像有一個(gè)人從山腳走到了山頂，同一天還有另一個(gè)人從山頂走到了山腳。這兩個(gè)人一定會(huì)在途中的某個(gè)地點(diǎn)相遇。這就說明了，這個(gè)人在兩天的同一時(shí)刻都經(jīng)過了這里。
03
甲從 A 地前往 B 地，乙從 B 地前往 A 地，兩人同時(shí)出發(fā)，各自勻速地前進(jìn)，每個(gè)人到達(dá)目的地后都立即以原速度返回。兩人首次在距離 A 地 700 米處相遇，后來又在距離 B 地 400 米處相遇。求 A 、 B 兩地間的距離。
答案： 1700 米。第一次相遇時(shí)，甲、乙共同走完一個(gè) AB 的距離；第二次相遇時(shí)，甲、乙共同走完三個(gè) AB 的距離�？梢姡瑥牡谝淮蜗嘤龅降诙蜗嘤龅倪^程花了兩個(gè)從出發(fā)到第一次相遇這么多的時(shí)間。既然第一次相遇時(shí)甲走了 700 米，說明后來甲又走了 1400 米，因此甲一共走了 2100 米。從中減去 400 米，正好就是 A 、 B 之間的距離了。
04
甲、乙、丙三人百米賽跑，每次都是甲勝乙 10 米，乙勝丙 10 米。則甲勝丙多少米？
答案是 19 米。“乙勝丙 10 米”的意思就是，等乙到了終點(diǎn)處時(shí)，丙只到了 90 米處。“甲勝乙 10 米”的意思就是，甲到了終點(diǎn)處時(shí)，乙只到了 90 米處，而此時(shí)丙應(yīng)該還在 81 米處。所以甲勝了丙 19 米。
05
哥哥弟弟百米賽跑，哥哥贏了弟弟 1 米。第二次，哥哥在起跑線處退后 1 米與弟弟比賽，那么誰會(huì)獲勝？
答案是，哥哥還是獲勝了。哥哥跑 100 米需要的時(shí)間等于弟弟跑 99 米需要的時(shí)間。第二次，哥哥在 -1 米處起跑，弟弟在 0 米處起跑，兩人將在第 99 米處追平。在剩下的 1 米里，哥哥超過了弟弟并獲得勝利。
06
如果你上山的速度是 2 米每秒，下山的速度是 6 米每秒（假設(shè)上山和下山走的是同一條山路）。那么，你全程的平均速度是多少？
這是小學(xué)行程問題中最容易錯(cuò)的題之一，是小孩子們死活也搞不明白的問題。答案不是 4 米每秒，而是 3 米每秒。不妨假設(shè)全程是 S 米，那么上山的時(shí)間就是 S/2 ，下山的時(shí)間就是 S/6 ，往返的總路程為 2S ，往返的總時(shí)間為 S/2 + S/6 ，因而全程的平均速度為 2S / (S/2 + S/6) = 3 。
其實(shí)，我們很容易看出，如果前一半路程的速度為 a ，后一半路程的速度為 b ，那么總的平均速度應(yīng)該小于 (a + b) / 2 。這是因?yàn)�，你�?huì)把更多的時(shí)間花在速度慢的那一半路程上，從而把平均速度拖慢了。事實(shí)上，總的平均速度應(yīng)該是 a 和 b 的調(diào)和平均數(shù)，即 2 / (1/a + 1/b) ，很容易證明調(diào)和平均數(shù)總是小于等于算術(shù)平均數(shù)的。
接下來的兩個(gè)問題與流水行船有關(guān)。假設(shè)順?biāo)畷r(shí)實(shí)際船速等于靜水中的船速加上水流速度，逆水時(shí)實(shí)際船速等于靜水中的船速減去水流速度。
07
船在靜水中往返 A 、 B 兩地和在流水中往返 A 、 B 兩地相比，哪種情況下更快？
這是一個(gè)經(jīng)典問題了。答案是，船在靜水中更快一些。這個(gè)問題和前一個(gè)問題本質(zhì)上完全一樣。注意船在順?biāo)械膶?shí)際速度與在逆水中的實(shí)際速度的平均值就是它的靜水速度，但由前一個(gè)問題的結(jié)論，實(shí)際的總平均速度會(huì)小于這個(gè)平均值。因此，船在流水中往返需要的總時(shí)間更久。
考慮一種極端情況可以讓問題的答案變得異常顯然，頗有一種荒謬的喜劇效果。假設(shè)船剛開始在上游。如果水速等于船速的話，它將以原速度的兩倍飛速到達(dá)折返點(diǎn)。但它永遠(yuǎn)也回不來了
08
船在流水中逆水前進(jìn)，途中一個(gè)救生圈不小心掉入水中，一小時(shí)后船員才發(fā)現(xiàn)并調(diào)頭追趕。則追上救生圈所需的時(shí)間會(huì)大于一個(gè)小時(shí)，還是小于一個(gè)小時(shí)，還是等于一個(gè)小時(shí)？
這也是一個(gè)經(jīng)典問題了。中學(xué)物理競(jìng)賽中曾出現(xiàn)過此題，《編程之美》上也有一個(gè)完全相同的問題。答案是等于一個(gè)小時(shí)。原因很簡(jiǎn)單：反正船和救生圈都被加上了一個(gè)水流的速度，我們就可以直接拋開流水的影響不看了。換句話說，我們?nèi)粢粤魉疄閰⒄障�，一切就都如同沒有流水了。我們直接可以想像船在靜水當(dāng)中丟掉了一個(gè)救生圈并繼續(xù)前行一個(gè)小時(shí)，回去撿救生圈當(dāng)然也還需要一個(gè)小時(shí)。
每當(dāng)有人還是沒想通時(shí)，我很愿意舉這么一個(gè)例子。假如有一列勻速疾馳的火車，你在火車車廂里，從車頭往車尾方向步行。途中你掉了一個(gè)錢包，但繼續(xù)往前走了一分鐘后才發(fā)現(xiàn)。顯然，你回去撿錢包需要的時(shí)間也是一分鐘。但是，錢包不是正被火車載著自動(dòng)地往遠(yuǎn)方走嗎？其實(shí)，既然你們都在火車上，自然就可以無視火車的速度了。前面的救生圈問題也是一樣的道理。
下面這個(gè)問題也很類似：假設(shè)人在傳送帶上的實(shí)際行走速度等于人在平地上的行走速度加上一個(gè)傳送帶的速度。
09
你需要從機(jī)場(chǎng)的一號(hào)航站樓走到二號(hào)航站樓。路途分為兩段，一段是平地，一段是自動(dòng)傳送帶。假設(shè)你的步行速度是一定的，因而在傳送帶上步行的實(shí)際速度就是你在平地上的速度加上傳送帶的速度。如果在整個(gè)過程中，你必須花兩秒鐘的時(shí)間停下來做一件事情（比如蹲下來系鞋帶），那么為了更快到達(dá)目的地，你應(yīng)該把這兩秒鐘的時(shí)間花在哪里更好？
很多人可能會(huì)認(rèn)為，兩種方案是一樣的吧？然而，真正的答案卻是，把這兩秒花在傳送帶上會(huì)更快一些。這是因?yàn)�，傳送帶能給你提供一些額外的速度，因而你會(huì)希望在傳送帶上停留更久的時(shí)間，更充分地利用傳送帶的好處。因此，如果你必須停下來一會(huì)兒的話，你應(yīng)該在傳送帶上多停一會(huì)兒。
10
假設(shè)你站在甲、乙兩地之間的某個(gè)位置，想乘坐出租車到乙地去。你看見一輛空車遠(yuǎn)遠(yuǎn)地從甲地駛來，而此時(shí)整條路上并沒有別人與你爭(zhēng)搶空車。我們假定車的行駛速度和人的步行速度都是固定不變的，并且車速大于人速。為了更快地到達(dá)目的地，你應(yīng)該迎著車走過去，還是順著車的方向往前走一點(diǎn)？
這是我在打車時(shí)想到的一個(gè)問題。我喜歡在各種人多的場(chǎng)合下提出這個(gè)問題，此時(shí)大家的觀點(diǎn)往往會(huì)立即分為鮮明的兩派，并且各有各的道理。有人說，由于車速大于人速，我應(yīng)該盡可能早地上車，充分利用汽車的速度優(yōu)勢(shì)，因此應(yīng)該迎著空車走上去，提前與車相遇嘛。另一派人則說，為了盡早到達(dá)目的地，我應(yīng)該充分利用時(shí)間，馬不停蹄地趕往目的地。因此，我應(yīng)該自己先朝目的地走一段路，再讓出租車載他走完剩下的路程。
其實(shí)答案出人意料的簡(jiǎn)單，兩種方案花費(fèi)的時(shí)間顯然是一樣的。只要站在出租車的角度上想一想，問題就變得很顯然了：不管人在哪兒上車，出租車反正都要駛完甲地到乙地的全部路程，因此此人到達(dá)乙地的時(shí)間總等于出租車駛完全程的時(shí)間，加上途中接人上車可能耽誤的時(shí)間。從省事兒的角度來講，站在原地不動(dòng)是最好的方案！
我曾經(jīng)把這個(gè)有趣的問題搬上了《新知客》雜志 2010 年第 9 期的趣題專欄。不少人都找到了這個(gè)題的一個(gè) bug ：在某些極端情況下，順著車的方向往前走可能會(huì)更好一些，因?yàn)槟慊蛟S會(huì)直接走到終點(diǎn)，而此時(shí)出租車根本還沒追上你！
11
某工廠每天早晨都派小車按時(shí)接總工程師上班。有一天，總工程師為了早些到工廠，比平日提前一小時(shí)出發(fā)步行去工廠。走了一段時(shí)間后，遇到來接他的小車才上車?yán)^續(xù)前進(jìn)。進(jìn)入工廠大門后，他發(fā)現(xiàn)只比平時(shí)早到 10 分鐘. 總工程師在路上步行了多長(zhǎng)時(shí)間才遇到來接他的汽車？設(shè)人和汽車都做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
據(jù)說，這是一道初中物理競(jìng)賽題（初中物理有“運(yùn)動(dòng)”一章）。答案是 55 分鐘。首先，讓我們站在車的角度去想（正如前一題那樣）。車從工廠出發(fā)，到半途中就遇上了總工程師并掉頭往回走，結(jié)果只比原來早到 10 分鐘。這說明，它比原來少走了 10 分鐘的車程，這也就是從相遇點(diǎn)到總工程師家再到相遇點(diǎn)的路程。這就說明，從相遇點(diǎn)到總工程師家需要 5 分鐘車程。
現(xiàn)在，讓我們把視角重新放回總工程師那里。讓我們假設(shè)總工程師遇上了來接他的車并坐上去之后，并沒有下令汽車立即掉頭，而是讓車像平日那樣繼續(xù)開到他家再返回工廠，那么他到工廠的時(shí)間應(yīng)該和原來一樣。這說明，他提前出發(fā)的那一個(gè)小時(shí)完全浪費(fèi)了。這一個(gè)小時(shí)浪費(fèi)在哪兒了呢？浪費(fèi)在了他步行到相遇點(diǎn)的過程，以及乘車又回到家的過程。既然乘車又回到家需要 5 分鐘，因此步行的時(shí)間就是 55 分鐘了。
12
有一位隱居在深山老林的哲學(xué)家。一天，他忘記給家里唯一的時(shí)鐘上發(fā)條了。由于他家里沒有電話、電視、網(wǎng)絡(luò)、收音機(jī)等任何能獲知時(shí)間的設(shè)備，因此他徹底不知道現(xiàn)在的時(shí)間是多少了。于是，他徒步來到了他朋友家里坐了一會(huì)兒，然后又徒步回到自己家中。此時(shí)，他便知道了應(yīng)該怎樣重新設(shè)定自己的時(shí)鐘。他是怎么做的？
很多人的第一想法或許是觀察日出日落。在此，我們也假設(shè)通過太陽位置判斷時(shí)間是不可靠的。
傳統(tǒng)意義上說，這個(gè)問題不算行程問題。不過，在寫這篇文章時(shí)，這個(gè)問題立即跳入我的腦海，我也就把它放進(jìn)來了。
答案：別忘了，他家里的時(shí)鐘并不是不走了，只是不準(zhǔn)了而已。因此，他可以借助自己家里的時(shí)鐘，判斷他此次出行一共花了多久。假設(shè)往返所花時(shí)間一樣，再結(jié)合在朋友那兒看到的正確時(shí)間，他便能算出應(yīng)該怎樣調(diào)整自己的時(shí)鐘了。
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