數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里有不少基礎(chǔ)概念，似是而非，孩子們很容易因?yàn)榛煜鴽](méi)能答對(duì)題。今天老師搜集了小學(xué)數(shù)學(xué)最容易混淆的15條基礎(chǔ)概念，家長(zhǎng)讓孩子看看都搞清楚了嗎？
一、最小的一位數(shù)是0還是1？
這個(gè)問(wèn)題在很長(zhǎng)一段時(shí)間存在爭(zhēng)論。先來(lái)看看《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊(cè)教師教學(xué)用書(shū)》第98頁(yè)“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個(gè)數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說(shuō)0是幾位數(shù)。
再來(lái)聽(tīng)聽(tīng)專(zhuān)家的說(shuō)明：在自然數(shù)的理論中，對(duì)“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個(gè)有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個(gè)數(shù)字（其中左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個(gè)數(shù)中，數(shù)字的個(gè)數(shù)是幾（其中最左邊第一個(gè)數(shù)字為有效數(shù)字），這個(gè)數(shù)就叫幾位數(shù)。
于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個(gè)，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位數(shù)。
二、為什么0也是自然數(shù)?
課標(biāo)教材對(duì)“０也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對(duì)自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識(shí)。
于此，中央教科所教材編寫(xiě)組主編陳昌鑄如是說(shuō)：國(guó)際上對(duì)自然數(shù)的定義一直都有不同的說(shuō)法，以法國(guó)為代表的多數(shù)國(guó)家都認(rèn)為自然數(shù)從0開(kāi)始，我國(guó)教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說(shuō)法，認(rèn)為0不是自然數(shù)。2000年教育部主持召開(kāi)教材改編會(huì)議時(shí)，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國(guó)際慣例接軌。
從教學(xué)實(shí)踐層面來(lái)說(shuō)，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。
“0”作為自然數(shù)的“好處”
眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無(wú)限集合兩類(lèi)。有限集合是含有有限個(gè)元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無(wú)限集合是含有的元素個(gè)數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來(lái)描述有限集合中元素的個(gè)數(shù)是很自然的。
但在有限集合中，有一個(gè)最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個(gè)數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個(gè)數(shù)就無(wú)法用自然數(shù)來(lái)表示了。如果把“0”作為一個(gè)自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫(huà)“有限集合元素個(gè)數(shù)”的任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個(gè)角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。
把“0”作為自然數(shù)，不會(huì)影響自然數(shù)的“運(yùn)算功能”
“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個(gè)自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時(shí)，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會(huì)受到影響。
所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時(shí)也讓我們意識(shí)到教學(xué)時(shí)不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。
三、什么是有效數(shù)字一無(wú)效數(shù)字？
有效數(shù)字是對(duì)一個(gè)數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個(gè)近似數(shù)如果在取舍時(shí)，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。
一般說(shuō)，一個(gè)近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說(shuō)這個(gè)近似數(shù)精確到哪一位。這時(shí)，從左邊第一個(gè)非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。
如近似數(shù)0．００３０９有三個(gè)有效數(shù)字：３、０、９；０．５２０也有三個(gè)有效字：５、２、０。
而０．００３０９中左邊的三個(gè)零，０．５２０中左邊的一個(gè)零，都叫做無(wú)效數(shù)字。
四、加法與減法、乘法與除法是否互為逆運(yùn)算？
“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：
加法“２＋３＝５”，其逆算為“５－２＝３”，“５－３＝２”。
故此，加法的逆運(yùn)算只有減法；
減法“５－２＝３”，其逆算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。
故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。
綜上可知，只能說(shuō)減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說(shuō)加法與減法互為逆運(yùn)算。
同理，也只能說(shuō)除法是乘法的逆運(yùn)算，而不能說(shuō)乘法與除法互為逆運(yùn)算。
五、為什么不寫(xiě)“倍”？
在學(xué)習(xí)“求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時(shí)，很多小朋友會(huì)自然提出這樣的疑問(wèn)，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫(xiě)“倍”呢？
我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識(shí)）。但同時(shí)又該對(duì)學(xué)生說(shuō)明：在解答應(yīng)用題時(shí)，得數(shù)后面一般要寫(xiě)上的是數(shù)的單位名稱(chēng)
如：12只的“只”；8克的“克”。一個(gè)數(shù)只有帶上單位名稱(chēng)，才能準(zhǔn)確地表示出一個(gè)物體的多少、大小、長(zhǎng)短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱(chēng)，它表示兩個(gè)數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“4”，表示12里面有4個(gè)3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。
所以，在算式里不寫(xiě)“倍”，以免“倍”與單位名稱(chēng)發(fā)生混淆。
六、“倍”和“倍數(shù)”的區(qū)別
在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識(shí)”，認(rèn)識(shí)了概念“倍”，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個(gè)概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個(gè)詞到底是不是一回事呢？這兩個(gè)詞之間有什么區(qū)別呢？
“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有30人，因?yàn)?ldquo;10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說(shuō)，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍，也可以說(shuō)，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說(shuō)，“倍”其實(shí)表示的是兩個(gè)數(shù)的商（這個(gè)商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）。
“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)?？梢?jiàn)，“倍數(shù)”是不能獨(dú)立存在的（具有特定的指向性），而且對(duì)數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。
同時(shí)我們又看到，30也是6的5倍，因?yàn)?×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個(gè)角度來(lái)說(shuō)，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。
七、時(shí)和小時(shí)有什么不同？怎樣使用時(shí)和小時(shí)？
首先應(yīng)該明確的是，〔小〕時(shí)并非國(guó)際時(shí)間單位。在1984年國(guó)務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國(guó)統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令》中，把秒作為時(shí)間的基本單位，把非國(guó)際單位制的時(shí)間單位天（日）、〔小〕時(shí)、分作為輔助單位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。
這樣，在我國(guó)范圍內(nèi)使用的法定時(shí)間單位就有：天（日）、〔小〕時(shí)、分、秒。
由此，“時(shí)”既可以表示時(shí)間，又可以表示時(shí)刻。由于“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)間單位“時(shí)”時(shí)，
現(xiàn)行教材作了如下處理：
當(dāng)列式計(jì)算出時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，在得數(shù)的括號(hào)里寫(xiě)上時(shí)間的單位“時(shí)”。例如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間：21-9=12（時(shí)）。（此處可省略“小”字）
在用語(yǔ)言表述時(shí)間的長(zhǎng)短時(shí)，為避免“時(shí)間”和“時(shí)刻”這兩個(gè)概念產(chǎn)生混淆，則在“時(shí)”的前面加上一個(gè)“小”字。例如：超市營(yíng)業(yè)時(shí)間12小時(shí)。
在用語(yǔ)言表示時(shí)刻時(shí)，一律不得出現(xiàn)“小時(shí)”字樣。例如：公園每天早上7時(shí)30分開(kāi)園（而非7小時(shí)30分）。
八、“改寫(xiě)”和“省略”是一樣的嗎？
從形式上看，此例將“改寫(xiě)”與“省略”兩種對(duì)數(shù)的變化置于了同一個(gè)要求之下（即改寫(xiě)成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)?ldquo;改寫(xiě)”與“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：
目的不同。“改寫(xiě)”的目的是方便對(duì)大數(shù)的讀寫(xiě)，而“省略”則是取數(shù)的近似值。
方法不同。此處的“改寫(xiě)”是去掉“億”位后面的0，再寫(xiě)上一個(gè)“億”字，而“省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。
符號(hào)不同。“改寫(xiě)”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號(hào)連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。
九、“路程”就是“距離”嗎？
這兩個(gè)詞在許多老師的教學(xué)語(yǔ)言中是替代使用的，其實(shí)不然。
“路程”是指從一個(gè)地點(diǎn)到另一個(gè)地點(diǎn)所經(jīng)過(guò)路線(xiàn)的長(zhǎng)度；而“距離”則指連接兩個(gè)地點(diǎn)而成的直線(xiàn)段的長(zhǎng)度。
“路程”所經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)可以是曲形線(xiàn)，也可以是直形線(xiàn)，還可能是折形線(xiàn)。
一般情況下，兩個(gè)地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當(dāng)兩個(gè)地點(diǎn)之間的路線(xiàn)為直線(xiàn)時(shí)，路程和距離才相等。
雖然老師們都知道這個(gè)等式是成立的,但我們的學(xué)生卻沒(méi)有相應(yīng)的知識(shí)儲(chǔ)備,怎樣繞開(kāi)”極限”尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑。
十、最大的分?jǐn)?shù)單位是1/2還是1/1？
先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。
顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分”，沒(méi)有“分”，就沒(méi)有“份”。
因?yàn)榘褑挝?ldquo;1”平均分成的最少份數(shù)是2份（如果是1份，也就無(wú)所謂“分”），由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位。
盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來(lái)說(shuō)，1/1也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識(shí)的與整數(shù)對(duì)立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以1/2為宜。
十一、像0/3、0.2/3、3/0.2這樣的數(shù)是不是分?jǐn)?shù)?
分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。
由此可知，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個(gè)意義來(lái)說(shuō)，以上這幾個(gè)數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。
進(jìn)而，在考查學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)”涵義的理解時(shí)，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對(duì)訓(xùn)練學(xué)生的思維并無(wú)多大實(shí)際意義，而且會(huì)令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。
十二、比6多1/2的數(shù)應(yīng)該是61/2還是6×（11/2）
要弄清這個(gè)問(wèn)題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6”其實(shí)質(zhì)是一個(gè)“數(shù)”，而非一個(gè)“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問(wèn)題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。
所以，這里的“1/2”是指在6的基礎(chǔ)上“多1/2”這個(gè)“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。
所以，“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“61/2”。
當(dāng)然，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。
十三、計(jì)算出勤率可不可以不乘100%？
先來(lái)看看新人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)不同版本的教材對(duì)類(lèi)似問(wèn)題的理解。
同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來(lái)了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。
如果公式只寫(xiě)成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)／應(yīng)出勤人數(shù)，我們說(shuō)這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分?jǐn)?shù)。
因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿(mǎn)足百分?jǐn)?shù)的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應(yīng)乘“１００％”。
同時(shí)建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線(xiàn)教師造成認(rèn)識(shí)上的混亂。
十四、小于90 度的角都是銳角嗎？
根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個(gè)新的問(wèn)題：０度的角是什么角，也是銳角嗎？
事實(shí)是，銳角定義有一個(gè)隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。習(xí)慣上，我們把射線(xiàn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線(xiàn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線(xiàn)沒(méi)有做任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。
由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于０度而小于９０度的角叫做銳角。
十五、足球比賽記分牌上的3：2是數(shù)學(xué)中的比嗎？
我們至少可以從兩個(gè)方面來(lái)理解它們的差別。
第一，球類(lèi)比賽中的“３︰２”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關(guān)系，一方得３分，另一方得２分，雙方相差１分；數(shù)學(xué)中的“３︰２”表示的是“３÷２”，是“倍”比，商為１.5。有鑒于此，球類(lèi)比賽中的“比”（其實(shí)是比分），其后數(shù)可以為０的，而數(shù)學(xué)中的“比”，其后數(shù)（相當(dāng)于除數(shù)）是不可以為０的。
第二，數(shù)學(xué)中的“比”是可以化簡(jiǎn)的，如“４︰２＝２︰１”；同樣的“４︰２”放在球類(lèi)比賽中，卻不可以化簡(jiǎn)，如果化簡(jiǎn)就不能反映雙方在比賽中的實(shí)際得分了。