最易混淆的15條基礎(chǔ)概念，不要讓孩子記錯了！

這個問題在很長一段時間存在爭論。先來看看《九年義務(wù)教育六年制小學(xué)數(shù)學(xué)第八冊教師教學(xué)用書》第98頁“關(guān)于幾位數(shù)”的敘述：“通常在自然數(shù)里，含有幾個數(shù)位的數(shù)，叫做幾位數(shù)。例如“2”是含有一個數(shù)位的數(shù)，叫做一位數(shù)；“30”是含有兩個數(shù)位的數(shù)，叫做兩位數(shù)；“405”是含有三個數(shù)位的數(shù)，叫做三位數(shù)……但是要注意：一般不說0是幾位數(shù)。

再來聽聽專家的說明：在自然數(shù)的理論中，對“幾位數(shù)”是這樣定義的，“只用一個有效數(shù)字表示的數(shù)，叫做一位數(shù)；只用兩個數(shù)字（其中左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字）表示的數(shù)，叫做兩位數(shù)……所以，在一個數(shù)中，數(shù)字的個數(shù)是幾（其中最左邊第一個數(shù)字為有效數(shù)字），這個數(shù)就叫幾位數(shù)。
于此，所謂最大的幾位數(shù)，最小的幾位數(shù)，通常是在非零自然數(shù)的范圍研究。所以一位數(shù)共有九個，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位數(shù)。

課標(biāo)教材對“０也是自然數(shù)”的規(guī)定，顛覆了人們對自然數(shù)的傳統(tǒng)認(rèn)識。
于此，中央教科所教材編寫組主編陳昌鑄如是說：國際上對自然數(shù)的定義一直都有不同的說法，以法國為代表的多數(shù)國家都認(rèn)為自然數(shù)從0開始，我國教材以前一直都是遵循前蘇聯(lián)的說法，認(rèn)為0不是自然數(shù)。2000年教育部主持召開教材改編會議時，已明確提出將0歸為自然數(shù)。這次改版也是與國際慣例接軌。
從教學(xué)實(shí)踐層面來說，將“０”規(guī)定為“自然數(shù)”也有著積極的現(xiàn)實(shí)意義。

眾所周知，數(shù)學(xué)中的集合被分為有限集合和無限集合兩類。有限集合是含有有限個元素的集合，像某班學(xué)生的集合。無限集合是含有的元素個數(shù)是非有限的集合，如分?jǐn)?shù)的集合。因?yàn)樽匀粩?shù)具有“基數(shù)”的性質(zhì)，因此用自然數(shù)來描述有限集合中元素的個數(shù)是很自然的。
但在有限集合中，有一個最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素個數(shù)為0。如果不把0作為自然數(shù)，那么空集的元素的個數(shù)就無法用自然數(shù)來表示了。如果把“0”作為一個自然數(shù)，那么自然數(shù)就可以完成刻畫“有限集合元素個數(shù)”的任務(wù)了。于此，從“自然數(shù)的基數(shù)性”這個角度，我們看到了把“0”作為自然數(shù)的好處。

“0”加入傳統(tǒng)的自然數(shù)集合，所有的“運(yùn)算規(guī)則”依舊保持，如新自然數(shù)集合{0,1,2,…,ｎ,…}中的任何兩個自然數(shù)都可以進(jìn)行加法和乘法運(yùn)算，而運(yùn)算結(jié)果仍然是自然數(shù)。同時，加法、乘法運(yùn)算的結(jié)合律和交換律，以及乘法的分配律也不會受到影響。
所以，“0”加盟到自然數(shù)集合實(shí)屬理所當(dāng)然，而不僅僅是人為的“規(guī)定”。它讓我們更好地理解自然數(shù)和它的功能，同時也讓我們意識到教學(xué)時不僅要知道和記住數(shù)學(xué)的“定義”和“規(guī)定”，還應(yīng)該思考“規(guī)定”背后的數(shù)學(xué)涵義。

有效數(shù)字是對一個數(shù)的近似值的精確程度而提出的。同一個近似數(shù)如果在取舍時，保留的有效數(shù)字多，就比保留的有效數(shù)字少更精確。
一般說，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。這時，從左邊第一個非零的數(shù)字起，到那一位上的所有數(shù)字都叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。
如近似數(shù)0．００３０９有三個有效數(shù)字：３、０、９；０．５２０也有三個有效字：５、２、０。
而０．００３０９中左邊的三個零，０．５２０中左邊的一個零，都叫做無效數(shù)字。

“加法與減法互為逆運(yùn)算、乘法與除法互為逆運(yùn)算”這似乎成了許多老師的口頭禪，這其實(shí)是一種誤解。例如：
加法“２＋３＝５”，其逆算為“５－２＝３”，“５－３＝２”。
故此，加法的逆運(yùn)算只有減法；
減法“５－２＝３”，其逆算有“５－３＝２”，“２＋３＝５”。
故此，減法的逆運(yùn)算有減法和加法兩種運(yùn)算。
綜上可知，只能說減法是加法的逆運(yùn)算，而不能說加法與減法互為逆運(yùn)算。
同理，也只能說除法是乘法的逆運(yùn)算，而不能說乘法與除法互為逆運(yùn)算。

在學(xué)習(xí)“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”應(yīng)用題時，很多小朋友會自然提出這樣的疑問，如：“飼養(yǎng)小組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨，小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？”為什么“12÷3＝4”的后面不寫“倍”呢？
我們首先應(yīng)該肯定學(xué)生的質(zhì)疑（學(xué)生有較強(qiáng)的解題規(guī)范意識）。但同時又該對學(xué)生說明：在解答應(yīng)用題時，得數(shù)后面一般要寫上的是數(shù)的單位名稱
如：12只的“只”；8克的“克”。一個數(shù)只有帶上單位名稱，才能準(zhǔn)確地表示出一個物體的多少、大小、長短、輕重等等。但是，“倍”不是單位名稱，它表示兩個數(shù)量之間的一種關(guān)系。例如，上面的計(jì)算結(jié)果“4”，表示12里面有4個3，就是12只小雞是3只小鴨的4倍。
所以，在算式里不寫“倍”，以免“倍”與單位名稱發(fā)生混淆。

在第一學(xué)段我們學(xué)習(xí)了“倍的初步認(rèn)識”，認(rèn)識了概念“倍”，而在第二學(xué)段,我們又學(xué)習(xí)到“倍數(shù)”這個概念。那么，“倍”和“倍數(shù)”這兩個詞到底是不是一回事呢？這兩個詞之間有什么區(qū)別呢？
“倍”指的是數(shù)量關(guān)系，它建立在乘除法概念的基礎(chǔ)上。例如：男生有10人，女生有30人，因?yàn)?ldquo;10×3=30”或者“30÷10=3”，我們就說，女生人數(shù)（30）是男生人數(shù)（10）的3倍，也可以說，男生人數(shù)（10）的3倍等于女生人數(shù)（30）。勿寧說，“倍”其實(shí)表示的是兩個數(shù)的商（這個商可以是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等各種表現(xiàn)形式）。
“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在整除概念的基礎(chǔ)上。例如，30能被6整除，30就是6的倍數(shù)�？梢�，“倍數(shù)”是不能獨(dú)立存在的（具有特定的指向性），而且對數(shù)的形式有特別的要求（必須為整數(shù)）。
同時我們又看到，30也是6的5倍，因?yàn)?×5＝30，“6×5”表示6的5倍。所以從這個角度來說，“倍”的涵義應(yīng)寬泛于“倍數(shù)”，后者可以視為前者在特定情形下的一種表現(xiàn)。

首先應(yīng)該明確的是，〔小〕時并非國際時間單位。在1984年國務(wù)院發(fā)布的《關(guān)于我國統(tǒng)一法定計(jì)量單位的命令》中，把秒作為時間的基本單位，把非國際單位制的時間單位天（日）、〔小〕時、分作為輔助單位。（注：〔〕里的字，在不致混淆的情況下，可以省略）。
這樣，在我國范圍內(nèi)使用的法定時間單位就有：天（日）、〔小〕時、分、秒。
由此，“時”既可以表示時間，又可以表示時刻。由于“時間”和“時刻”這兩個不同的概念容易產(chǎn)生混淆，在實(shí)際應(yīng)用時間單位“時”時，
現(xiàn)行教材作了如下處理：
當(dāng)列式計(jì)算出時間的長短時，在得數(shù)的括號里寫上時間的單位“時”。例如：超市營業(yè)時間：21-9=12（時）。（此處可省略“小”字）
在用語言表述時間的長短時，為避免“時間”和“時刻”這兩個概念產(chǎn)生混淆，則在“時”的前面加上一個“小”字。例如：超市營業(yè)時間12小時。
在用語言表示時刻時，一律不得出現(xiàn)“小時”字樣。例如：公園每天早上7時30分開園（而非7小時30分）。

從形式上看，此例將“改寫”與“省略”兩種對數(shù)的變化置于了同一個要求之下（即改寫成用“億”作單位的數(shù)）。我們真希望編者不是有意而為之，因?yàn)?ldquo;改寫”與“省略”其本質(zhì)是完全不同的。表現(xiàn)在：
目的不同。“改寫”的目的是方便對大數(shù)的讀寫，而“省略”則是取數(shù)的近似值。
方法不同。此處的“改寫”是去掉“億”位后面的0，再寫上一個“億”字，而“省略”除了要找準(zhǔn)“億”位，還要考慮被省略的尾數(shù)的最高位是幾，然后用四舍五入法求出近似數(shù)。
符號不同。“改寫”只改變了數(shù)的表現(xiàn)形式，大小并未改變，所以用“=”號連接；而“省略”既改變了數(shù)的形式，又改變的數(shù)的大小，所以用“≈”連接。

這兩個詞在許多老師的教學(xué)語言中是替代使用的，其實(shí)不然。
“路程”是指從一個地點(diǎn)到另一個地點(diǎn)所經(jīng)過路線的長度；而“距離”則指連接兩個地點(diǎn)而成的直線段的長度。
“路程”所經(jīng)過的路線可以是曲形線，也可以是直形線，還可能是折形線。
一般情況下，兩個地點(diǎn)之間的“路程”要大于它們之間的“距離”，只有當(dāng)兩個地點(diǎn)之間的路線為直線時，路程和距離才相等。
雖然老師們都知道這個等式是成立的,但我們的學(xué)生卻沒有相應(yīng)的知識儲備,怎樣繞開”極限”尋找能為小學(xué)生所理解和接受的證明途徑。

先看看分?jǐn)?shù)單位的含義：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份的數(shù)。
顯然，在分?jǐn)?shù)意義中，關(guān)鍵是“分”，沒有“分”，就沒有“份”。
因?yàn)榘褑挝?ldquo;1”平均分成的最少份數(shù)是2份（如果是1份，也就無所謂“分”），由此得到的分?jǐn)?shù)單位是1/2，所以1/2是最大的分?jǐn)?shù)單位。
盡管就廣義的分?jǐn)?shù)來說，1/1也可視作分?jǐn)?shù)，但它已不是我們通常意義上認(rèn)識的與整數(shù)對立的那種分?jǐn)?shù)（在平均分的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生），故此，最大的分?jǐn)?shù)單位應(yīng)以1/2為宜。

分?jǐn)?shù)的定義明確告訴我們:把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù),叫分?jǐn)?shù)。其中，分成的份數(shù)叫做分?jǐn)?shù)的分母，要表示的份數(shù)叫做分子。
由此可知，分?jǐn)?shù)的分子和分母都應(yīng)該是非零自然數(shù)。從這個意義來說，以上這幾個數(shù)徒具分?jǐn)?shù)的形式，而不具分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，因此都不應(yīng)該視為分?jǐn)?shù)。
進(jìn)而，在考查學(xué)生對“分?jǐn)?shù)”涵義的理解時，應(yīng)著眼于通常意義上的分?jǐn)?shù)，將上述這些變異形式納入思考的范圍，其本身對訓(xùn)練學(xué)生的思維并無多大實(shí)際意義，而且會令諸如“分?jǐn)?shù)都大于0”等命題的真與假陷入尷尬。

要弄清這個問題，先得弄清“6”的性質(zhì)。顯然，此處的“6”其實(shí)質(zhì)是一個“數(shù)”，而非一個“量”，求“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)屬于“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的范疇，問題中的“多幾”都是確定的具體數(shù)，這里的“幾”既可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。
所以，這里的“1/2”是指在6的基礎(chǔ)上“多1/2”這個“1/2”數(shù)的本身，而非“6的1/2”。
所以，“比6多1/2的數(shù)”應(yīng)該是“61/2”。
當(dāng)然，如果題目確定為“比6多它的1/2的數(shù)”，那答案則屬于后者。

先來看看新人教版、北師大版和蘇教版三個不同版本的教材對類似問題的理解。
同一課程標(biāo)準(zhǔn)下，不同的教材給出了不同的理解，這給執(zhí)教者帶來了困惑：到底可不可以不乘100%呢？筆者以為，求“××率”其結(jié)果必定為百分率。以出勤率為例，就是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的百分之幾。
如果公式只寫成：出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)／應(yīng)出勤人數(shù)，我們說這只是分?jǐn)?shù)形式（也即是求實(shí)際出勤人數(shù)占應(yīng)出勤人數(shù)的“幾分之幾”），并不是百分?jǐn)?shù)。
因此，在公式后面乘上“１００％”，既可以使計(jì)算數(shù)值大小不變，又能保證結(jié)果形式滿足百分?jǐn)?shù)的要求。因此，計(jì)算出勤率、發(fā)芽率、出粉率、合格率……的公式中，都應(yīng)乘“１００％”。
同時建議各版本教材的編委統(tǒng)一思想，以免給一線教師造成認(rèn)識上的混亂。

根據(jù)課標(biāo)教材定義：小于９０度的角叫做銳角。答案似乎是肯定的，但由此又產(chǎn)生一個新的問題：０度的角是什么角，也是銳角嗎？
事實(shí)是，銳角定義有一個隱含的前提，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中所討論的角都是正角。習(xí)慣上，我們把射線按逆時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做正角，射線按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到的角叫做負(fù)角，當(dāng)一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)時，就把它看成零角。如果將角的概念推廣到任意大小的角，就應(yīng)分為正角、負(fù)角、和零角。
由此，嚴(yán)格意義上的銳角定義應(yīng)是：大于０度而小于９０度的角叫做銳角。

我們至少可以從兩個方面來理解它們的差別。
第一，球類比賽中的“３︰２”表示的是比賽雙方的得分情況，是“差”比，即表示相差關(guān)系，一方得３分，另一方得２分，雙方相差１分；數(shù)學(xué)中的“３︰２”表示的是“３÷２”，是“倍”比，商為１.5。有鑒于此，球類比賽中的“比”（其實(shí)是比分），其后數(shù)可以為０的，而數(shù)學(xué)中的“比”，其后數(shù)（相當(dāng)于除數(shù)）是不可以為０的。
第二，數(shù)學(xué)中的“比”是可以化簡的，如“４︰２＝２︰１”；同樣的“４︰２”放在球類比賽中，卻不可以化簡，如果化簡就不能反映雙方在比賽中的實(shí)際得分了。